25.7 KB · ⇊ 8 parts · ⤓ Micron 25.7 KB · ⤓ HTML 210.2 KB

top

Una mwbapiastra, nella mwbqscienza delle costruzioni, è un mwbgelemento strutturale con due dimensioni (lunghezza e larghezza) prevalenti rispetto alla terza (lo spessore) e la cui superficie sia, in media, piana (mwbwlastra piana). Comunemente si considera piastra un qualunque elemento piano sottile il cui spessore mwcat sia inferiore ad un ventesimo della dimensione minima mwcql nel piano medio:

mwda t l < 1 20 {\displaystyle {\frac {t}{l}}<{\frac {1}{20}}}

Il comportamento delle piastre si può suddividere, in una prima analisi, in:

• Comportamento a mweamweqflessione: si valutano le deformazioni in direzione ortogonale al piano medio (lungo lo spessore)

• Comportamento a mwewmwfamembrana: si valutano le deformazioni nel piano medio.

I due tipi di analisi possono essere utilizzati separatamente qualora il carico applicato deformi la piastra prevalentemente a flessione o a membrana. È inoltre possibile combinare le equazioni dei due tipi di analisi per ottenere un modello di piastra più completo.

• Equazioni della piastra a flessione

• Teoria di Kirchhoff

• Relazioni cinematiche

• Relazioni costitutive

• Risultanti degli sforzi

• Equazione differenziale nel campo della piastra a flessione

• Voci correlate

• Altri progetti

A seconda del tipo di modellizzazione del comportamento, le piastre possono distinguersi in tre categorie:

• Piastre sottili con piccole deflessioni del piano medio (Piastra di mwgwKirchhoff)

• Piastre sottili con grandi deflessioni del piano medio

• Piastre di grande spessore (che rispetti comunque la definizione)

Le ipotesi alla base di questa modellizzazione dell'elemento piastra, in analogia con quelle poste alla base della teoria elementare delle mwiatravi sono riassunte di seguito:

1. la deflessione mwiw w {\displaystyle w} del piano medio della piastra (mwja z = 0 {\displaystyle z=0} ) è piccola rispetto allo spessore mwjq t {\displaystyle t} : di conseguenza la sua derivata prima nelle direzioni mwjg x {\displaystyle x} e mwjw y {\displaystyle y} ,mwka ∂ ∂ w ∂ ∂ x , ∂ ∂ w ∂ ∂ y {\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial x}},{\frac {\partial w}{\partial y}}} risulta piccola ed il suo quadrato trascurabile rispetto a uno;

2. a seguito della deflessione, il piano medio rimane indeformato;

3. le sezioni inizialmente normali al piano medio rimangono mwkwpiane e ortogonali ad esso dopo la deflessione. Di conseguenza gli scorrimenti in direzione z sono nulli ( mwla γ γ x z = γ γ y z = 0 {\displaystyle \gamma _{xz}=\gamma _{yz}=0} ) e la deflessione della piastra è dovuta sostanzialmente a deformazioni flessionali. Anche la deformazione mwlq ε ε z {\displaystyle \varepsilon _{z}} risulta piccola e quindi trascurabile rispetto alle altre;

4. Il tag \,\! serve per rendere la formula come PNG invece che come HTML. Si prega di non rimuoverlo. lo sforzo normale (in direzione mwlwz),mwma σ σ z {\displaystyle \sigma _{z}} , risulta piccolo rispetto alle altre componenti di sforzo e può essere trascurato.

Se la deflessione non può essere ritenuta piccola (ossia non è dello stesso ordine di grandezza dello spessore della piastra) allora la flessione avviene con deformazione del piano medio e le ipotesi 1 e 2 non risultano più verificate. Nel caso di piastre di grande spessore allora gli sforzi di taglio diventano importanti e le ipotesi 3 e 4 non sono più valide. Occorre pertanto utilizzare una teoria più generale.

L'operatore funzionale che agisce sullo spostamento collegandolo con il vettore ingegneristico delle mwnadeformazioni, è una matrice che nel caso di tre coordinate cartesiane assume la forma [3x6]:

mwnw { ε ε x ε ε y ε ε z γ γ y z γ γ x z γ γ x y } = [ ∂ ∂ ∂ ∂ x 0 0 0 ∂ ∂ ∂ ∂ y 0 0 0 ∂ ∂ ∂ ∂ z 0 ∂ ∂ ∂ ∂ z ∂ ∂ ∂ ∂ y ∂ ∂ ∂ ∂ z 0 ∂ ∂ ∂ ∂ x ∂ ∂ ∂ ∂ y ∂ ∂ ∂ ∂ x 0 ] { u v w } {\displaystyle {\begin{Bmatrix}\varepsilon _{x}\\\varepsilon _{y}\\\varepsilon _{z}\\\gamma _{yz}\\\gamma _{xz}\\\gamma _{xy}\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}}&0&0\\0&{\frac {\partial }{\partial y}}&0\\0&0&{\frac {\partial }{\partial z}}\\0&{\frac {\partial }{\partial z}}&{\frac {\partial }{\partial y}}\\{\frac {\partial }{\partial z}}&0&{\frac {\partial }{\partial x}}\\{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial x}}&0\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}u\\v\\w\end{Bmatrix}}}

Per l'ipotesi 3, mwoq ε ε z = 0 {\displaystyle \varepsilon _{z}\,\!=0} , ossia tramite il legame cinematico sopra espresso:

mwpa ∂ ∂ w ∂ ∂ z = 0 {\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial z}}=0}

la dipendenza di mwpg w {\displaystyle w} dalle variabili spaziali viene ridotta a:

mwqq w = w ( x , y ) {\displaystyle w=w\left(x,y\right)}

Espandendo in mwqwserie di Mac Laurin rispetto alla variabile mwraz le componenti del vettore spostamento, arrestando lo sviluppo al primo ordine (lineare), si ottengono le relazioni:

mwrw u ( x , y , z ) = u 0 + z [ ∂ ∂ u ∂ ∂ z ] z = 0 {\displaystyle u\left(x,y,z\right)=u_{0}+z\left[{\frac {\partial u}{\partial z}}\right]_{z=0}} e

mwsq v ( x , y , z ) = v 0 + z [ ∂ ∂ v ∂ ∂ z ] z = 0 {\displaystyle v\left(x,y,z\right)=v_{0}+z\left[{\frac {\partial v}{\partial z}}\right]_{z=0}}

I coefficienti dello sviluppo in serie sono valutati in corrispondenza del piano medio, ossia mwswz = 0. Inoltre, ancora per l'ipotesi 3 ed utilizzando il legame cinematico (d'ora in poi si ometterà, per brevità, l'ascritto mwtaz = 0)

mwtw γ γ y z = ∂ ∂ v ∂ ∂ z + ∂ ∂ w ∂ ∂ y = 0 {\displaystyle \gamma _{yz}\,\!={\frac {\partial v}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial y}}=0} e mwua γ γ x z = ∂ ∂ u ∂ ∂ z + ∂ ∂ w ∂ ∂ x = 0 {\displaystyle \gamma _{xz}\,\!={\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial x}}=0}

si possono scrivere gli spostamenti in funzione delle derivate prime di mwugw:

mwvq u ( x , y , z ) = u 0 − − ∂ ∂ w ∂ ∂ x z {\displaystyle u\left(x,y,z\right)=u_{0}-{\frac {\partial w}{\partial x}}z} e mwvg v ( x , y , z ) = v 0 − − ∂ ∂ w ∂ ∂ y z {\displaystyle v\left(x,y,z\right)=v_{0}-{\frac {\partial w}{\partial y}}z}

Per l'ipotesi 2, secondo la quale, a seguito della deformazione il piano medio rimane indeformato, si giunge alla scrittura delle equazioni degli spostamenti della piastra in funzione della deflessione mwwaw:

mwww { u ( x , y , z ) = − − ∂ ∂ w ∂ ∂ x z v ( x , y , z ) = − − ∂ ∂ w ∂ ∂ y z ⇒ ⇒ w ( x , y ) {\displaystyle {\begin{cases}u\left(x,y,z\right)=-{\frac {\partial w}{\partial x}}z\\v\left(x,y,z\right)=-{\frac {\partial w}{\partial y}}z\end{cases}}\Rightarrow w\left(x,y\right)}

Si evidenzia l'approssimazione di linearità nella variabile lungo lo spessore, mwxqz,osservando l'andamento lineare degli spostamenti mwxg u ( x , y , z ) {\displaystyle u\left(x,y,z\right)} e mwxw v ( x , y , z ) {\displaystyle v\left(x,y,z\right)} .

Avendo ora ricavato le espressioni degli spostamenti nel campo, possiamo utilizzare il legame cinematico, riscritto nel caso delle semplificazioni adottate per la piastra di Kirchhoff, e ricavare le espressioni delle deformazioni in termini dello spostamento mwyqw (x,y). Poiché vige l'ipotesi di piccole deformazioni:

mwza { ε ε x ε ε y γ γ x y } = [ ∂ ∂ ∂ ∂ x 0 0 0 ∂ ∂ ∂ ∂ y 0 ∂ ∂ ∂ ∂ y ∂ ∂ ∂ ∂ x 0 ] { u v w } = [ ∂ ∂ ∂ ∂ x 0 0 0 ∂ ∂ ∂ ∂ y 0 ∂ ∂ ∂ ∂ y ∂ ∂ ∂ ∂ x 0 ] { − − ∂ ∂ w ∂ ∂ x z − − ∂ ∂ w ∂ ∂ y z w ( x , y ) } = { − − ∂ ∂ 2 w ∂ ∂ x 2 z − − ∂ ∂ 2 w ∂ ∂ y 2 z − − 2 ∂ ∂ 2 w ∂ ∂ x ∂ ∂ y z } {\displaystyle {\begin{Bmatrix}\varepsilon _{x}\\\varepsilon _{y}\\\gamma _{xy}\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}}&0&0\\0&{\frac {\partial }{\partial y}}&0\\{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial x}}&0\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}u\\v\\w\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}}&0&0\\0&{\frac {\partial }{\partial y}}&0\\{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial x}}&0\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}-{\frac {\partial w}{\partial x}}z\\-{\frac {\partial w}{\partial y}}z\\w\left(x,y\right)\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}-{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}z\\-{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}z\\-2{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}z\end{Bmatrix}}}

Utilizzando le equazioni costitutive per un solido isotropo a comportamento lineare, riscritte nel caso di stato di sforzo bidimensionale (mwzw σ σ z z = 0 {\displaystyle \sigma _{zz}=0} ):

mwag { σ σ x σ σ y τ τ x y } = E 1 − − ν ν 2 [ 1 ν ν 0 ν ν 1 0 0 0 1 − − ν ν 2 ] { ε ε x ε ε y γ γ x y } {\displaystyle {\begin{Bmatrix}\sigma _{x}\\\sigma _{y}\\\tau _{xy}\end{Bmatrix}}={\frac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&{\frac {1-\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\varepsilon _{x}\\\varepsilon _{y}\\\gamma _{xy}\end{Bmatrix}}}

ed utilizzando le espressioni ricavate per le relazioni cinematiche, si ottiene:

mwbg { σ σ x σ σ y τ τ x y } = E 1 − − ν ν 2 [ 1 ν ν 0 ν ν 1 0 0 0 1 − − ν ν 2 ] { − − ∂ ∂ 2 w ∂ ∂ x 2 z − − ∂ ∂ 2 w ∂ ∂ y 2 z − − 2 ∂ ∂ 2 w ∂ ∂ x ∂ ∂ y z } = { − − E z 1 − − ν ν 2 ( ∂ ∂ 2 w ∂ ∂ x 2 + ν ν ∂ ∂ 2 w ∂ ∂ y 2 ) − − E z 1 − − ν ν 2 ( ∂ ∂ 2 w ∂ ∂ y 2 + ν ν ∂ ∂ 2 w ∂ ∂ x 2 ) − − E z 1 + ν ν ( ∂ ∂ 2 w ∂ ∂ x ∂ ∂ y ) } {\displaystyle {\begin{Bmatrix}\sigma _{x}\\\sigma _{y}\\\tau _{xy}\end{Bmatrix}}={\frac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&{\frac {1-\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}-{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}z\\-{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}z\\-2{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}z\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}-{\frac {Ez}{1-\nu ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)\\-{\frac {Ez}{1-\nu ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}\right)\\-{\frac {Ez}{1+\nu }}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\right)\end{Bmatrix}}}

Si osservi la linearità degli sforzi lungo lo spessore. Come per ipotesi, il piano medio risulta non deformato, pertanto non sollecitato.

Per poter giungere alla scrittura delle equazioni di equilibrio di un elemento di piastra, occorre calcolare la risultante delle componenti dello sforzo. Poiché si sta valutando il comportamento a flessione della piastra, le forze agenti sull'elemento sono, con riferimento alle figure:

• Le forze di taglio (per unità di lunghezza) mwda Q x {\displaystyle Q_{x}} e mwdq Q y {\displaystyle Q_{y}} ;

• I momenti flettenti (per unità di lunghezza) mwfa M x {\displaystyle M_{x}} , mwfq M y {\displaystyle M_{y}} e mwfg M x y {\displaystyle M_{xy}} .

La variazione delle grandezze nel dominio di definizione è arrestato al termine del primo ordine (linearità).

Tali grandezze sono calcolabili integrando nello spessore mwhqt le funzioni sforzo, per ottenere:

mwia Q x = ∫ ∫ − − t 2 t 2 τ τ x z d z = ∫ ∫ − − t 2 t 2 − − E z 1 − − ν ν 2 ( ∂ ∂ 2 w ∂ ∂ x 2 + ν ν ∂ ∂ 2 w ∂ ∂ y 2 ) d z = − − E t 1 − − ν ν 2 ( ∂ ∂ 2 w ∂ ∂ x 2 + ν ν ∂ ∂ 2 w ∂ ∂ y 2 ) {\displaystyle Q_{x}=\int _{-{\frac {t}{2}}}^{\frac {t}{2}}\tau _{xz}\,dz=\int _{-{\frac {t}{2}}}^{\frac {t}{2}}-{\frac {Ez}{1-\nu ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)\,dz=-{\frac {Et}{1-\nu ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)}

mwiw Q y = ∫ ∫ − − t 2 t 2 τ τ y z d z = ∫ ∫ − − t 2 t 2 − − E z 1 − − ν ν 2 ( ∂ ∂ 2 w ∂ ∂ y 2 + ν ν ∂ ∂ 2 w ∂ ∂ x 2 ) d z = − − E t 1 − − ν ν 2 ( ∂ ∂ 2 w ∂ ∂ y 2 + ν ν ∂ ∂ 2 w ∂ ∂ x 2 ) {\displaystyle Q_{y}=\int _{-{\frac {t}{2}}}^{\frac {t}{2}}\tau _{yz}\,dz=\int _{-{\frac {t}{2}}}^{\frac {t}{2}}-{\frac {Ez}{1-\nu ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}\right)\,dz=-{\frac {Et}{1-\nu ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}\right)}

mwjg M x = ∫ ∫ − − t 2 t 2 σ σ x z d z = ∫ ∫ − − t 2 t 2 − − E z 2 1 − − ν ν 2 ( ∂ ∂ 2 w ∂ ∂ x 2 + ν ν ∂ ∂ 2 w ∂ ∂ y 2 ) d z = − − D ( ∂ ∂ 2 w ∂ ∂ x 2 + ν ν ∂ ∂ 2 w ∂ ∂ y 2 ) {\displaystyle M_{x}=\int _{-{\frac {t}{2}}}^{\frac {t}{2}}\sigma _{x}z\,dz=\int _{-{\frac {t}{2}}}^{\frac {t}{2}}-{\frac {Ez^{2}}{1-\nu ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)\,dz=-D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)}

mwkq M y = ∫ ∫ − − t 2 t 2 σ σ y z d z = ∫ ∫ − − t 2 t 2 − − E z 2 1 − − ν ν 2 ( ∂ ∂ 2 w ∂ ∂ y 2 + ν ν ∂ ∂ 2 w ∂ ∂ x 2 ) d z = − − D ( ∂ ∂ 2 w ∂ ∂ y 2 + ν ν ∂ ∂ 2 w ∂ ∂ x 2 ) {\displaystyle M_{y}=\int _{-{\frac {t}{2}}}^{\frac {t}{2}}\sigma _{y}z\,dz=\int _{-{\frac {t}{2}}}^{\frac {t}{2}}-{\frac {Ez^{2}}{1-\nu ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}\right)\,dz=-D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}\right)}

mwla M x y = ∫ ∫ − − t 2 t 2 τ τ x y z d z = ∫ ∫ − − t 2 t 2 − − E z 2 1 + ν ν ( ∂ ∂ 2 w ∂ ∂ x ∂ ∂ y ) = − − D ( 1 − − ν ν ) ( ∂ ∂ 2 w ∂ ∂ x ∂ ∂ y ) {\displaystyle M_{xy}=\int _{-{\frac {t}{2}}}^{\frac {t}{2}}\tau _{xy}z\,dz=\int _{-{\frac {t}{2}}}^{\frac {t}{2}}-{\frac {Ez^{2}}{1+\nu }}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\right)=-D(1-\nu )\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\right)}

ove si è definita la mwlgrigidezza flessionale della piastra mwlwD misurata in mwma N m {\displaystyle N\,m} come: mwmq D = E t 3 12 ( 1 − − ν ν 2 ) {\displaystyle D={\frac {Et^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}}

Le forze assiali sono tutte nulle:

mwnq N x = ∫ ∫ − − t 2 t 2 σ σ x d z = 0 {\displaystyle N_{x}=\int _{-{\frac {t}{2}}}^{\frac {t}{2}}\sigma _{x}\,dz=0} ; mwng N y = ∫ ∫ − − t 2 t 2 σ σ y d z = 0 {\displaystyle N_{y}=\int _{-{\frac {t}{2}}}^{\frac {t}{2}}\sigma _{y}\,dz=0} ; mwnw N x y = ∫ ∫ − − t 2 t 2 τ τ x y d z = 0 {\displaystyle N_{xy}=\int _{-{\frac {t}{2}}}^{\frac {t}{2}}\tau _{xy}\,dz=0}

Osservando le figure sopra riportate, si possono scrivere le equazioni di equilibrio alla traslazione in direzione mwogz e alla rotazione attorno agli assi x e y. L'equazione di equilibrio dei momenti intorno all'asse mwowz è identicamente soddisfatta. Si osserva peraltro che l'elemento piastra è per sua costituzione non resistente a momenti agenti in direzione mwpaz. Si ottengono pertanto, per l'equilibrio alla traslazione in direzione mwpqz:

mwqa p d x d y − − Q x d y − − Q y d x + ( Q x d y + ∂ ∂ Q y ∂ ∂ y d x d y ) + ( Q y d x + ∂ ∂ Q x ∂ ∂ x d y d x ) = 0 ⇒ ⇒ ∂ ∂ Q x ∂ ∂ x + ∂ ∂ Q y ∂ ∂ y = − − p ( x , y ) {\displaystyle pdxdy-Q_{x}dy-Q_{y}dx+\left(Q_{x}dy+{\frac {\partial Q_{y}}{\partial y}}dxdy\right)+\left(Q_{y}dx+{\frac {\partial Q_{x}}{\partial x}}dydx\right)=0\Rightarrow {\frac {\partial Q_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial Q_{y}}{\partial y}}=-p(x,y)}

ove si è indicato con mwqgp(x,y) la funzione di carico, eventualmente presente, agente in direzione mwqwz (si ricorda che si è assunta positiva la direzione di mwraz verso il basso, con riferimento alle figure) e per l'equilibrio alla rotazione:

mwrw ∂ ∂ M x y ∂ ∂ x d x d y + ∂ ∂ M y ∂ ∂ y d x d y = Q y d x d y ⇒ ⇒ ∂ ∂ M x y ∂ ∂ x + ∂ ∂ M y ∂ ∂ y = Q y {\displaystyle {\frac {\partial M_{xy}}{\partial x}}dxdy+{\frac {\partial M_{y}}{\partial y}}dxdy=Q_{y}dxdy\Rightarrow {\frac {\partial M_{xy}}{\partial x}}+{\frac {\partial M_{y}}{\partial y}}=Q_{y}} in direzione x,

mwsg ∂ ∂ M x ∂ ∂ x d x d y + ∂ ∂ M x y ∂ ∂ y d x d y = Q x d x d y ⇒ ⇒ ∂ ∂ M x ∂ ∂ x + ∂ ∂ M x y ∂ ∂ y = Q x {\displaystyle {\frac {\partial M_{x}}{\partial x}}dxdy+{\frac {\partial M_{xy}}{\partial y}}dxdy=Q_{x}dxdy\Rightarrow {\frac {\partial M_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial M_{xy}}{\partial y}}=Q_{x}} in direzione y.

Derivando le ultime due espressioni e sostituendole nell'equazione ricavata per l'equilibrio alla traslazione in direzione mwtaz si ottiene:

mwtw { ∂ ∂ 2 M x y ∂ ∂ x 2 + ∂ ∂ 2 M y ∂ ∂ y 2 = ∂ ∂ Q y ∂ ∂ y ∂ ∂ 2 M x ∂ ∂ x 2 + ∂ ∂ 2 M x y ∂ ∂ y 2 = ∂ ∂ Q x ∂ ∂ x ⇒ ⇒ ∂ ∂ 2 M x ∂ ∂ x 2 + 2 ∂ ∂ 2 M x y ∂ ∂ x ∂ ∂ y + ∂ ∂ 2 M y ∂ ∂ y 2 = − − p ( x , y ) {\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial ^{2}M_{xy}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}M_{y}}{\partial y^{2}}}={\frac {\partial Q_{y}}{\partial y}}\\{\frac {\partial ^{2}M_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}M_{xy}}{\partial y^{2}}}={\frac {\partial Q_{x}}{\partial x}}\end{cases}}\Rightarrow {\frac {\partial ^{2}M_{x}}{\partial x^{2}}}+2{\frac {\partial ^{2}M_{xy}}{\partial x\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}M_{y}}{\partial y^{2}}}=-p(x,y)}

Utilizzando le equazioni trovate per i momenti, in funzione delle variabili cinematiche

mwuw M x = − − D ( ∂ ∂ 2 w ∂ ∂ x 2 + ν ν ∂ ∂ 2 w ∂ ∂ y 2 ) ; M y = − − D ( ∂ ∂ 2 w ∂ ∂ y 2 + ν ν ∂ ∂ 2 w ∂ ∂ x 2 ) ; M x y = − − D ( 1 − − ν ν ) ( ∂ ∂ 2 w ∂ ∂ x ∂ ∂ y ) {\displaystyle M_{x}=-D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right);M_{y}=-D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}\right);M_{xy}=-D(1-\nu )\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\right)}

si ottiene infine:

mwvw ∂ ∂ 2 [ − − D ( ∂ ∂ 2 w ∂ ∂ x 2 + ν ν ∂ ∂ 2 w ∂ ∂ y 2 ) ] ∂ ∂ x 2 + 2 ∂ ∂ 2 [ − − D ( 1 − − ν ν ) ( ∂ ∂ 2 w ∂ ∂ x ∂ ∂ y ) ] ∂ ∂ x ∂ ∂ y + ∂ ∂ 2 [ − − D ( ∂ ∂ 2 w ∂ ∂ y 2 + ν ν ∂ ∂ 2 w ∂ ∂ x 2 ) ] ∂ ∂ y 2 = − − p ( x , y ) {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\left[-D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)\right]}{\partial x^{2}}}+2{\frac {\partial ^{2}\left[-D(1-\nu )\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\right)\right]}{\partial x\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}\left[-D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}\right)\right]}{\partial y^{2}}}=-p(x,y)}

mwwg ∂ ∂ 2 ( ∂ ∂ 2 w ∂ ∂ x 2 + ν ν ∂ ∂ 2 w ∂ ∂ y 2 ) ∂ ∂ x 2 + 2 ∂ ∂ 2 [ ( 1 − − ν ν ) ( ∂ ∂ 2 w ∂ ∂ x ∂ ∂ y ) ] ∂ ∂ x ∂ ∂ y + ∂ ∂ 2 ( ∂ ∂ 2 w ∂ ∂ y 2 + ν ν ∂ ∂ 2 w ∂ ∂ x 2 ) ∂ ∂ y 2 = p ( x , y ) D {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)}{\partial x^{2}}}+2{\frac {\partial ^{2}\left[(1-\nu )\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\right)\right]}{\partial x\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}\right)}{\partial y^{2}}}={\frac {p(x,y)}{D}}}

mwxq ∂ ∂ 4 w ∂ ∂ x 4 + ν ν ∂ ∂ 4 w ∂ ∂ x 2 ∂ ∂ y 2 + 2 ∂ ∂ 4 w ∂ ∂ x 2 ∂ ∂ y 2 − − 2 ν ν ∂ ∂ 4 w ∂ ∂ x 2 ∂ ∂ y 2 + ∂ ∂ 4 w ∂ ∂ y 4 + ν ν ∂ ∂ 4 w ∂ ∂ x 2 ∂ ∂ y 2 = p ( x , y ) D {\displaystyle {\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+\nu {\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}-2\nu {\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}+\nu {\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}={\frac {p(x,y)}{D}}}

Si ottiene quindi

mwyq ∂ ∂ 4 w ∂ ∂ x 4 + 2 ∂ ∂ 4 w ∂ ∂ x 2 ∂ ∂ y 2 + ∂ ∂ 4 w ∂ ∂ y 4 = p ( x , y ) D {\displaystyle {\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}={\frac {p(x,y)}{D}}}

che è l'equazione nel campo della piastra sollecitata a pura flessione, quando valide le ipotesi di Kirchhoff sopra illustrate, altrimenti nota come mwywequazione di mwzaSophie Germain-mwzqLagrange sintetizzabile con la notazione

mw0a ∇ ∇ 4 w ( x , y ) = p ( x , y ) D {\displaystyle \nabla ^{4}w(x,y)={\frac {p(x,y)}{D}}}

Si è utilizzata la notazione mw0g ∇ ∇ 4 {\displaystyle \nabla ^{4}} (da leggersi "mw0wnabla quarto", o "laplaciano quadro") che indica l'operatore laplaciano di ordine 2, poiché il laplaciano corrisponde a nabla al quadrato. Nel caso bidimensionale esso corrisponde a:

mw1g ∇ ∇ 4 = ( ∂ ∂ 2 ∂ ∂ x 2 + ∂ ∂ 2 ∂ ∂ y 2 ) 2 {\displaystyle \nabla ^{4}=\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)^{2}}

A tale equazione si associano le mw2acondizioni al contorno, che possono essere di tipo cinematico (sugli spostamenti e/o sulle rotazioni) o condizioni naturali (o sulle forze, siano esse carichi e/o momenti).

Si noti, infine, che l'mw2gequazione di mw2wSophie Germain-mw3aLagrange è del tutto simile all'equazione della linea elastica delle travi inflesse, esprimibile con la relazione:

mw3g d w 4 ( x ) d z 4 = p ( x ) E J {\displaystyle {\frac {dw^{4}(x)}{dz^{4}}}={\frac {p(x)}{EJ}}}

dove ancora una volta è evidente la dipendenza del carico applicato rispetto alla derivata quarta dello spostamento.

• mw4wLastra

• mw5qMeccanica delle strutture

• mw5wSandwich (tecnologia)

Altri progetti

• Wikizionario

• Wikizionario contiene il lemma di dizionario «piastra»